ABC-formule — kwadratische vergelijking oplossen
Vul a, b en c in en de calculator lost de kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 op met de abc-formule, inclusief discriminant en beide oplossingen.
De abc-formule is misschien wel de bekendste formule uit de Nederlandse middelbare school. Hij geeft de oplossingen van een kwadratische vergelijking — een vergelijking van de vorm a·x² + b·x + c = 0 — en is sinds de middeleeuwen op deze manier onderwezen. Wat lijkt op een formuletje uit een schoolboek, is feitelijk de basis van alles wat in de wis-, natuur- en economische wetenschap met parabolen, optimalisatie of fysica te maken heeft. Met deze tool vul je gewoon de drie coëfficiënten in en krijg je niet alleen de oplossingen, maar ook de discriminant en de top van de bijbehorende parabool.
De abc-formule
Een kwadratische vergelijking heeft de standaardvorm:
a·x² + b·x + c = 0
met a ≠ 0. De oplossingen — ook wel 'wortels' of 'nulpunten' genoemd — bereken je met:
| Stap | Formule |
|---|---|
| 1. Discriminant | D = b² − 4 · a · c |
| 2. Twee oplossingen | x = (−b ± √D) / (2 · a) |
De discriminant beslist alles
Het belangrijkste van de hele berekening is het teken van de discriminant D = b² − 4ac. Hij vertelt vóór de wortel hoeveel oplossingen er zijn:
| Discriminant | Aantal reële oplossingen | Wat betekent dat grafisch? |
|---|---|---|
| D > 0 | twee verschillende reële oplossingen | parabool snijdt de x-as op twee plaatsen |
| D = 0 | één (dubbele) oplossing | parabool raakt de x-as exact in één punt |
| D < 0 | geen reële oplossingen | parabool ligt volledig boven of onder de x-as |
Voorbeeld stap voor stap
Los op: x² − 5x + 6 = 0
Hier is a = 1, b = −5, c = 6.
Stap 1 — Discriminant: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
Stap 2 — Aantal oplossingen: D = 1 > 0, dus twee reële oplossingen.
Stap 3 — Toepassen abc-formule: x = (−(−5) ± √1) / (2 · 1) = (5 ± 1) / 2.
Dat geeft x₁ = (5 + 1) / 2 = 3 en x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.
Controle: invullen van x = 2 → 4 − 10 + 6 = 0 ✓. En x = 3 → 9 − 15 + 6 = 0 ✓.
Ontbinden in factoren of abc-formule?
Voor 'mooie' kwadratische vergelijkingen — die je met gehele getallen kunt ontbinden — is ontbinden vaak sneller. Bijvoorbeeld x² − 5x + 6 = 0 kun je herschrijven als (x − 2)(x − 3) = 0, en dan zie je meteen dat x = 2 of x = 3.
Maar zodra de coëfficiënten geen gehele wortels geven, kom je met ontbinden niet meer snel uit. Dan is de abc-formule altijd je vangnet — hij werkt voor élke kwadratische vergelijking, hoe lelijk de getallen ook zijn. Op een schoolexamen is het vaak strategisch: probeer eerst kort te ontbinden, en val terug op de abc-formule als dat mislukt.
Een korte geschiedenis van de abc-formule
Babylonische kleitabletten uit ongeveer 1800 v.Chr. laten al zien dat mensen toen kwadratische vergelijkingen konden oplossen — niet met algebra, maar via meetkundige constructies en tabellen. De abc-formule zoals wij hem nu kennen ontstond geleidelijk door het werk van Indiase wiskundigen (Brahmagupta, 628 n.Chr.) en later de Perzische geleerde Al-Khwarizmi (~820 n.Chr.), naar wie het woord 'algoritme' is vernoemd.
Een opvallend feit: tot ver in de 16e eeuw werden negatieve oplossingen genegeerd of 'fictief' genoemd. Pas met het werk van Cardano (1545) werden negatieve én complexe oplossingen serieus genomen — eerst als trucje, later als volwaardige getallen.
Formule
Kwadratische vergelijking: a · x² + b · x + c = 0 (met a ≠ 0) Discriminant: D = b² − 4 · a · c Oplossingen (abc-formule): x = (−b ± √D) / (2 · a) Gevallen: D > 0 → twee reële oplossingen D = 0 → één (dubbele) oplossing x = −b / (2a) D < 0 → twee complexe oplossingen x = (−b ± i·√|D|) / (2a) Top van de parabool: x_top = −b / (2a) y_top = a · x_top² + b · x_top + c Voorbeeld: x² − 5x + 6 = 0 → D = 25 − 24 = 1 → x = (5 ± 1) / 2 → x = 2 of 3
Voorbeelden
- x² − 5x + 6 = 0x = 2 of x = 3 (D = 1)
- x² + 2x + 1 = 0x = −1 (dubbele oplossing, D = 0)
- x² + 1 = 0geen reële oplossing (D = −4); x = ±i
- 2x² − 4x − 6 = 0x = 3 of x = −1 (D = 64)
Veelgestelde vragen
Wat is de abc-formule?
Wat is de discriminant?
Wat als a = 0?
Kun je ook ontbinden in plaats van abc-formule gebruiken?
Wat zijn complexe oplossingen?
Wat is de top van de parabool?
Wie heeft de abc-formule bedacht?
Wat als de oplossingen geen mooi getal zijn?
Gerelateerde tools
Uitgelichte artikelen
Alle artikelenGrafische rekenmachine online: gratis alternatieven voor school en studie
Een grafische rekenmachine kost al gauw €80 tot €200, maar voor huiswerkcontrole, studie en begrip heb je die uitgave vaak niet nodig. Online grafische tools zijn gratis, altijd beschikbaar en soms zelfs krachtiger dan de fysieke variant. In deze gids vergelijken we de beste online alternatieven voor school en studie, laten we zien wanneer je tóch een fysieke rekenmachine nodig hebt, en linken we door naar specifieke wiskundige tools op RekenmachinePro.
Casio rekenmachine vergelijken 2026: welk model past bij jou?
Casio is het meest verkochte rekenmachinemodel in Nederland — bijna iedere scholier op de middelbare school heeft er ooit één gehad. Maar welk Casio-model kies je in 2026: de budgetvriendelijke fx-82, de veelzijdige fx-991 of de grafische fx-CG50? In deze gids vergelijken we de populairste modellen op prijs, functies en examentoelatting, en laten we zien wanneer een gratis online rekenmachine een slim alternatief is.
Rekenmachine kopen 2026: complete gids — van €10 tot €200
Rekenmachine kopen: een simpele zoekopdracht met een verwarrende hoeveelheid opties. Basis of wetenschappelijk? Casio of NumWorks? Grafisch of niet? En heb je eigenlijk wel een fysieke rekenmachine nodig, of volstaat een gratis online rekenmachine voor jouw gebruik? In deze gids leggen we stap voor stap uit welk model past bij jouw situatie — en wanneer je beter geld uitspaart en online rekent.
Laatst bijgewerkt: 11 april 2026