Sin, cos en tan berekenen: uitleg met de eenheidscirkel

Wat zijn sinus, cosinus en tangens?

Sinus, cosinus en tangens zijn verhoudingen tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Ze koppelen een hoek aan de lengtes van de zijden. In een rechthoekige driehoek noemen we, vanuit een gekozen scherpe hoek θ, de zijde tegenover die hoek de overstaande zijde, de zijde ernaast (niet de langste) de aanliggende zijde, en de langste zijde tegenover de rechte hoek de schuine zijde (hypotenusa).

Met die drie zijden definiëren we: de sinus van θ is de overstaande gedeeld door de schuine zijde, de cosinus is de aanliggende gedeeld door de schuine zijde, en de tangens is de overstaande gedeeld door de aanliggende zijde. Omdat de verhoudingen alleen van de hoek afhangen (niet van de grootte van de driehoek), kun je met één bekende hoek en één zijde alle andere zijden terugrekenen.

De ezelsbrug: SOS-CAS-TOA

Welke zijde hoort ook alweer bij welke verhouding? De Nederlandse ezelsbrug SOS-CAS-TOA helpt je dat onthouden. Elk groepje van drie letters staat voor een functie en de twee zijden die je deelt: de eerste letter is de functie, de tweede de teller en de derde de noemer.

De eenheidscirkel: sin en cos in beeld

De driehoeksdefinitie werkt alleen voor scherpe hoeken (tussen 0° en 90°). De eenheidscirkel — een cirkel met straal 1 rond de oorsprong — breidt sinus en cosinus uit naar elke hoek, ook stompe en negatieve. Teken een straal die met de horizontale as een hoek θ maakt; het punt waar de straal de cirkel snijdt heeft als coördinaten precies (cos θ, sin θ).

Zo lees je af: de cosinus is de horizontale afstand en de sinus de verticale afstand van dat punt. De tangens is hun verhouding, tan θ = sin θ ÷ cos θ. Bij 90° is de cosinus 0, en omdat je niet door 0 kunt delen, bestaat tan(90°) niet — je rekenmachine geeft daar dan ook een foutmelding.

Graden of radialen? De grootste valkuil

Verreweg de meest gemaakte fout met sin, cos en tan is een verkeerde hoekmodus. Een rekenmachine kan hoeken in graden (DEG) of radialen (RAD) interpreteren — en soms in gon (GRAD). In graden is een volledige cirkel 360°; in radialen is dat 2π (ongeveer 6,28). Een rechte hoek is 90° óf π/2 rad.

Het gevolg: tik je sin(30) in terwijl je rekenmachine op RAD staat, dan rekent hij sin van 30 radialen en krijg je −0,988 in plaats van de verwachte 0,5. Controleer dus altijd de hoekmodus, meestal rechtsboven in beeld. Voor de meeste schoolsommen kies je DEG; in de wiskunde van de bovenbouw en bij analyse werk je juist met radialen. Reken hoeken om met onze tool graden naar radialen.

Sin, cos en tan intikken op de rekenmachine

Op onze wetenschappelijke rekenmachine tik je de functie en daarna tussen haakjes de hoek: sin(30) geeft in DEG meteen 0,5. Wil je een zijde uitrekenen, vermenigvuldig je de verhouding met de bekende zijde. Voorbeeld: in een rechthoekige driehoek met een hoek van 40° en een schuine zijde van 10, is de overstaande zijde gelijk aan 10 × sin(40°) ≈ 6,43.

Let op de standaardwaarden die vaak terugkomen. sin(30°) = 0,5 en cos(60°) = 0,5; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707 (dat is ½√2); en tan(45°) = 1. Deze ken je het beste uit je hoofd, zodat je een rekenfout meteen opmerkt.

De hoek terugrekenen met sin⁻¹, cos⁻¹ en tan⁻¹

Soms ken je de zijden en wil je de hoek vinden. Dan gebruik je de inverse functies: arcsinus (sin⁻¹), arccosinus (cos⁻¹) en arctangens (tan⁻¹). Op de rekenmachine bereik je die met de 2nd- of SHIFT-knop. Voorbeeld: weet je dat de overstaande zijde 3 is en de aanliggende 4, dan is tan θ = 3/4 = 0,75, en de hoek is tan⁻¹(0,75) ≈ 36,87°.

Houd ook hier de hoekmodus in de gaten: staat de rekenmachine op DEG, dan krijg je het antwoord in graden; op RAD krijg je radialen. De inverse sinus en cosinus werken alleen voor invoer tussen −1 en 1 — daarbuiten geeft de rekenmachine een domeinfout, omdat geen enkele hoek zo'n verhouding heeft.

Veelvoorkomende waarden van sin, cos en tan

De onderstaande tabel toont de exacte waarden voor de standaardhoeken. Reken ze gerust na op de rekenmachine (in DEG).

Veelgestelde vragen

Waarom krijg ik bij sin(30) niet 0,5? Je rekenmachine staat dan op radialen (RAD) in plaats van graden (DEG). Zet de hoekmodus op DEG; dan is sin(30°) precies 0,5.

Wat is het verschil tussen sin en sin⁻¹? sin zet een hoek om in een verhouding (sin(30°) = 0,5); sin⁻¹ (arcsinus) doet het omgekeerde en zet een verhouding terug naar een hoek (sin⁻¹(0,5) = 30°).

Waarom bestaat tan(90°) niet? Omdat tan θ = sin θ ÷ cos θ, en cos(90°) = 0. Delen door nul kan niet, dus tan(90°) is ongedefinieerd.

Wat betekent SOS-CAS-TOA? Het is de ezelsbrug voor de drie verhoudingen: Sinus = Overstaande ÷ Schuine, Cosinus = Aanliggende ÷ Schuine, Tangens = Overstaande ÷ Aanliggende.

Hoe reken ik een zijde uit met sin, cos of tan? Vermenigvuldig de verhouding met de bekende zijde. Bij een hoek van 40° en een schuine zijde van 10 is de overstaande zijde 10 × sin(40°) ≈ 6,43.