RekenmachinePro

GGD en KGV berekenen

Bereken de grootste gemene deler (GGD) en het kleinste gemene veelvoud (KGV) van twee of meer gehele getallen — met uitwerking volgens het algoritme van Euclides.

GGD (grootste gemene deler) en KGV (kleinste gemene veelvoud) zijn twee van de oudste begrippen uit de rekenkunde. De GGD is het grootste getal dat zowel a als b deelt zonder rest; de KGV is het kleinste getal waar zowel a als b in passen. Ze zijn onmisbaar bij breuken vereenvoudigen, ritmes (twee tandwielen die elkaar kruisen), en moderne cryptografie. Met deze tool reken je beide direct uit voor twee of meer getallen, met de stap-voor-stap uitwerking volgens het algoritme van Euclides.

Wat zijn GGD en KGV precies?

Twee verwante maar verschillende begrippen:

TermSymboolWat het is
Grootste gemene delerGGD(a, b)het grootste getal dat a én b zonder rest deelt
Kleinste gemene veelvoudKGV(a, b)het kleinste positieve getal dat een veelvoud is van a én b

Het algoritme van Euclides

Voor kleine getallen kun je de delers nog uitschrijven, maar voor grote getallen is dat ondoenlijk. Euclides van Alexandrië (~300 v.Chr.) ontdekte een briljant kort algoritme dat nog steeds wordt gebruikt:

GGD(a, b) = GGD(b, a mod b), tot b = 0. Dan is GGD = a.

Concreet voor 18 en 12:

18 = 1 · 12 + 6 → GGD(12, 6)

12 = 2 · 6 + 0 → GGD = 6

Klaar in twee stappen. Voor twee 100-cijferige getallen heeft het algoritme nog steeds maar een paar honderd stappen nodig — vandaar dat het nog steeds gebruikt wordt in moderne cryptografie (RSA-sleutels).

De gouden relatie tussen GGD en KGV

Voor twee positieve getallen a en b geldt altijd:

GGD(a, b) · KGV(a, b) = a · b

Dat betekent dat als je één van de twee weet, je de andere meteen kunt uitrekenen. Voor 12 en 18: GGD = 6, dus KGV = (12 · 18) / 6 = 216 / 6 = 36. Dat is precies hoe onze calculator de KGV berekent — eerst de GGD via Euclides, daarna de KGV via deze identiteit.

Waar kom je GGD en KGV tegen?

  • **Breuken vereenvoudigen** — een breuk a/b is in eenvoudigste vorm als je teller en noemer deelt door GGD(a, b). Voorbeeld: 18/24 → GGD(18, 24) = 6 → 3/4.
  • **Breuken optellen** — om 1/4 + 1/6 op te tellen heb je een gemeenschappelijke noemer nodig: KGV(4, 6) = 12. Dus 3/12 + 2/12 = 5/12.
  • **Tandwielen en synchronisatie** — twee tandwielen met 12 en 18 tanden komen weer in dezelfde stand na KGV(12, 18) = 36 tanden, dat is 36/12 = 3 omwentelingen van het kleine en 36/18 = 2 omwentelingen van het grote.
  • **Bij elkaar komen** — bus A komt elke 12 minuten, bus B elke 18 minuten. Ze vertrekken samen en zijn weer samen na KGV(12, 18) = 36 minuten.
  • **Cryptografie (RSA)** — moderne encryptie maakt intensief gebruik van GGD-berekeningen om priemgetallen te vinden en sleutels te genereren.

Speciaal geval — coprieme getallen

Twee getallen heten 'coprime' (of 'onderling ondeelbaar') als hun GGD gelijk is aan 1. Voorbeeld: GGD(8, 15) = 1 — ze hebben geen gemeenschappelijke factor groter dan 1, ook al zijn beide samengesteld.

Voor coprieme getallen geldt KGV(a, b) = a · b. Dat is intuïtief: ze hebben niets gemeen, dus je moet ze allemaal vermenigvuldigen om in beide te passen. Twee priemgetallen zijn altijd coprime — bijvoorbeeld GGD(17, 23) = 1 en KGV(17, 23) = 391.

Formule

GGD via Euclides:

  GGD(a, b) = a                    als b = 0
  GGD(a, b) = GGD(b, a mod b)      anders

KGV via GGD:

  KGV(a, b) = |a · b| / GGD(a, b)

Voor meer dan twee getallen:

  GGD(a, b, c) = GGD(GGD(a, b), c)
  KGV(a, b, c) = KGV(KGV(a, b), c)

Eigenschappen:
  GGD(a, b) · KGV(a, b) = a · b
  GGD(a, 0) = a
  GGD(a, b) = 1   ⇔  a en b zijn coprime

Voorbeeld:
  GGD(12, 18) = 6
  KGV(12, 18) = (12 · 18) / 6 = 36

Voorbeelden

  • GGD en KGV van 12 en 18
    GGD = 6, KGV = 36
  • GGD en KGV van 48, 60, 72
    GGD = 12, KGV = 720
  • GGD en KGV van 17 en 23 (priem)
    GGD = 1, KGV = 391
  • GGD en KGV van 100 en 75
    GGD = 25, KGV = 300

Veelgestelde vragen

Wat is de grootste gemene deler (GGD)?
De GGD van twee gehele getallen is het grootste positieve getal dat ze allebei zonder rest deelt. Bijvoorbeeld GGD(12, 18) = 6, omdat 6 zowel 12 als 18 deelt en geen groter getal dat doet.
Wat is het kleinste gemene veelvoud (KGV)?
Het KGV van twee gehele getallen is het kleinste positieve getal dat een veelvoud is van beide. Voor 4 en 6: KGV = 12, omdat 12 = 3·4 = 2·6 en geen kleiner getal aan beide voorwaarden voldoet.
Hoe bereken ik de GGD snel?
Met het algoritme van Euclides: vervang het paar (a, b) telkens door (b, a mod b) tot b = 0. Dan is a de GGD. Voorbeeld: GGD(48, 18) → GGD(18, 12) → GGD(12, 6) → GGD(6, 0) = 6. Werkt voor willekeurig grote getallen in zeer weinig stappen.
Waarom heb ik GGD nodig bij breuken?
Om breuken te vereenvoudigen (te 'verkleinen'). Een breuk a/b is in laagste termen als GGD(a, b) = 1. Voorbeeld: 18/24 heeft GGD(18, 24) = 6, dus de eenvoudigste vorm is 18/6 ÷ 24/6 = 3/4. Onze breuken-calculator doet dat automatisch.
Waarom heb ik KGV nodig bij breuken?
Om breuken op te tellen of af te trekken heb je een gemeenschappelijke noemer nodig. De kleinste die werkt is het KGV van de noemers. Voor 1/4 + 1/6: KGV(4, 6) = 12, dus 1/4 = 3/12 en 1/6 = 2/12, samen 5/12. Werken met het KGV in plaats van een willekeurige veelvoud houdt de getallen klein.
Wat is het verband tussen GGD en KGV?
Voor elk paar positieve gehele getallen a en b geldt: GGD(a, b) · KGV(a, b) = a · b. Dus als je één weet, weet je de andere. Voorbeeld: voor 12 en 18 → GGD = 6, dus KGV = (12·18)/6 = 36. Onze calculator gebruikt deze identiteit intern.
Kan de GGD van negatieve getallen?
Ja, en hij is per conventie altijd positief. GGD(−12, 18) = GGD(12, 18) = 6. Wij negeren het teken bij de berekening — dat sluit aan bij hoe het in de wiskunde standaard wordt gedefinieerd.
Wat als één van de getallen 0 is?
GGD(a, 0) = a — elk getal deelt 0, dus de grootste gemene deler is a zelf. Maar KGV(a, 0) is wiskundig niet gedefinieerd (er is geen kleinste positief veelvoud van 0). Onze calculator weigert daarom invoer met een 0 in het KGV-deel.

Gerelateerde tools

Breuken berekenen
Reken twee breuken bij elkaar op, trek ze van elkaar af, vermenigvuldig of deel ze — met automatische vereenvoudiging, decimale waarde en gemengd getal.
Wortel berekenen
Bereken de vierkantswortel, derdemachtswortel of n-de wortel van een getal. Met uitleg, voorbeelden en automatische detectie van perfecte machten.
Percentage berekenen
Vier modi in één calculator: X% van Y, X is hoeveel % van Y, procentueel verschil en toename/afname.
ABC-formule (kwadratische vergelijking)
Vul a, b en c in en de calculator lost de kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 op met de abc-formule, inclusief discriminant en beide oplossingen.

Laatst bijgewerkt: 11 april 2026