RekenmachinePro

ABC-formule — kwadratische vergelijking oplossen

Vul a, b en c in en de calculator lost de kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 op met de abc-formule, inclusief discriminant en beide oplossingen.

De abc-formule is misschien wel de bekendste formule uit de Nederlandse middelbare school. Hij geeft de oplossingen van een kwadratische vergelijking — een vergelijking van de vorm a·x² + b·x + c = 0 — en is sinds de middeleeuwen op deze manier onderwezen. Wat lijkt op een formuletje uit een schoolboek, is feitelijk de basis van alles wat in de wis-, natuur- en economische wetenschap met parabolen, optimalisatie of fysica te maken heeft. Met deze tool vul je gewoon de drie coëfficiënten in en krijg je niet alleen de oplossingen, maar ook de discriminant en de top van de bijbehorende parabool.

De abc-formule

Een kwadratische vergelijking heeft de standaardvorm:

a·x² + b·x + c = 0

met a ≠ 0. De oplossingen — ook wel 'wortels' of 'nulpunten' genoemd — bereken je met:

StapFormule
1. DiscriminantD = b² − 4 · a · c
2. Twee oplossingenx = (−b ± √D) / (2 · a)

De discriminant beslist alles

Het belangrijkste van de hele berekening is het teken van de discriminant D = b² − 4ac. Hij vertelt vóór de wortel hoeveel oplossingen er zijn:

DiscriminantAantal reële oplossingenWat betekent dat grafisch?
D > 0twee verschillende reële oplossingenparabool snijdt de x-as op twee plaatsen
D = 0één (dubbele) oplossingparabool raakt de x-as exact in één punt
D < 0geen reële oplossingenparabool ligt volledig boven of onder de x-as

Voorbeeld stap voor stap

Los op: x² − 5x + 6 = 0

Hier is a = 1, b = −5, c = 6.

Stap 1 — Discriminant: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.

Stap 2 — Aantal oplossingen: D = 1 > 0, dus twee reële oplossingen.

Stap 3 — Toepassen abc-formule: x = (−(−5) ± √1) / (2 · 1) = (5 ± 1) / 2.

Dat geeft x₁ = (5 + 1) / 2 = 3 en x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.

Controle: invullen van x = 2 → 4 − 10 + 6 = 0 ✓. En x = 3 → 9 − 15 + 6 = 0 ✓.

Ontbinden in factoren of abc-formule?

Voor 'mooie' kwadratische vergelijkingen — die je met gehele getallen kunt ontbinden — is ontbinden vaak sneller. Bijvoorbeeld x² − 5x + 6 = 0 kun je herschrijven als (x − 2)(x − 3) = 0, en dan zie je meteen dat x = 2 of x = 3.

Maar zodra de coëfficiënten geen gehele wortels geven, kom je met ontbinden niet meer snel uit. Dan is de abc-formule altijd je vangnet — hij werkt voor élke kwadratische vergelijking, hoe lelijk de getallen ook zijn. Op een schoolexamen is het vaak strategisch: probeer eerst kort te ontbinden, en val terug op de abc-formule als dat mislukt.

Een korte geschiedenis van de abc-formule

Babylonische kleitabletten uit ongeveer 1800 v.Chr. laten al zien dat mensen toen kwadratische vergelijkingen konden oplossen — niet met algebra, maar via meetkundige constructies en tabellen. De abc-formule zoals wij hem nu kennen ontstond geleidelijk door het werk van Indiase wiskundigen (Brahmagupta, 628 n.Chr.) en later de Perzische geleerde Al-Khwarizmi (~820 n.Chr.), naar wie het woord 'algoritme' is vernoemd.

Een opvallend feit: tot ver in de 16e eeuw werden negatieve oplossingen genegeerd of 'fictief' genoemd. Pas met het werk van Cardano (1545) werden negatieve én complexe oplossingen serieus genomen — eerst als trucje, later als volwaardige getallen.

Formule

Kwadratische vergelijking:

  a · x² + b · x + c = 0   (met a ≠ 0)

Discriminant:
  D = b² − 4 · a · c

Oplossingen (abc-formule):
  x = (−b ± √D) / (2 · a)

Gevallen:
  D > 0  → twee reële oplossingen
  D = 0  → één (dubbele) oplossing  x = −b / (2a)
  D < 0  → twee complexe oplossingen  x = (−b ± i·√|D|) / (2a)

Top van de parabool:
  x_top = −b / (2a)
  y_top = a · x_top² + b · x_top + c

Voorbeeld:
  x² − 5x + 6 = 0  →  D = 25 − 24 = 1  →  x = (5 ± 1) / 2  →  x = 2 of 3

Voorbeelden

  • x² − 5x + 6 = 0
    x = 2 of x = 3 (D = 1)
  • x² + 2x + 1 = 0
    x = −1 (dubbele oplossing, D = 0)
  • x² + 1 = 0
    geen reële oplossing (D = −4); x = ±i
  • 2x² − 4x − 6 = 0
    x = 3 of x = −1 (D = 64)

Veelgestelde vragen

Wat is de abc-formule?
De abc-formule is de algemene oplossing van een kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0. Hij luidt: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). De ± levert twee oplossingen op (als de discriminant positief is).
Wat is de discriminant?
De discriminant is het stuk b² − 4ac binnen de wortel. Hij bepaalt hoeveel oplossingen je krijgt: D > 0 → twee reële oplossingen, D = 0 → één dubbele oplossing, D < 0 → geen reële oplossingen (wel twee complexe). Je hoeft de discriminant niet apart op te schrijven, maar het maakt het werken vaak overzichtelijker.
Wat als a = 0?
Dan is het géén kwadratische vergelijking meer, maar een lineaire: bx + c = 0, met als oplossing x = −c/b. Onze calculator vangt dat geval netjes op en geeft de lineaire oplossing terug. Als ook b = 0 en c ≠ 0, is er geen oplossing; als alle drie 0 zijn, is elke x een oplossing.
Kun je ook ontbinden in plaats van abc-formule gebruiken?
Ja, voor 'mooie' vergelijkingen met gehele oplossingen is ontbinden vaak sneller. Bijvoorbeeld x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 of x = 3. Maar voor elke vergelijking met lelijke getallen of geen gehele oplossingen werkt alleen de abc-formule. Op examens loont het om eerst kort te kijken of ontbinden lukt, en anders terug te vallen op de abc-formule.
Wat zijn complexe oplossingen?
Als de discriminant negatief is, bestaan de oplossingen uit een reëel deel plus een imaginair deel (een veelvoud van i = √−1). Bijvoorbeeld x² + 1 = 0 geeft x = ±i. Op de middelbare school zie je die meestal niet, maar in het hoger onderwijs en in de elektrotechniek (wisselstroom) zijn complexe getallen onmisbaar.
Wat is de top van de parabool?
Een kwadratische functie y = ax² + bx + c heeft een parabool als grafiek, met een laagste of hoogste punt: de top. De x-coördinaat is altijd x_top = −b/(2a), en de y-coördinaat krijg je door dat in te vullen. Bij a > 0 is het een dal (top is minimum), bij a < 0 een berg (top is maximum). Onze calculator toont de top automatisch.
Wie heeft de abc-formule bedacht?
Niet één persoon. Babyloniërs (1800 v.Chr.) konden al kwadratische vergelijkingen oplossen via meetkundige methoden. De Indiase wiskundige Brahmagupta (628 n.Chr.) gaf de eerste algemene formulering inclusief negatieve oplossingen. De Perzische geleerde Al-Khwarizmi (~820 n.Chr.) werkte het systematisch uit in zijn algebra-boek — waar het woord 'algebra' van komt. De moderne notatie met letters dateert pas uit de 16e-17e eeuw.
Wat als de oplossingen geen mooi getal zijn?
Dan zijn ze meestal irrationaal (oneindige decimalen, zoals √2 ≈ 1,41421...). Wiskundig schrijven we de oplossing dan in exacte vorm, bijvoorbeeld x = (3 ± √7)/2. In een calculator zie je een decimale benadering. Beide zijn correct — exacte vorm is preciezer, decimaal vorm is bruikbaar.

Gerelateerde tools

Wortel berekenen
Bereken de vierkantswortel, derdemachtswortel of n-de wortel van een getal. Met uitleg, voorbeelden en automatische detectie van perfecte machten.
Pythagoras berekenen
Bereken de schuine zijde (c) of een ontbrekende rechthoekszijde (a of b) van een rechthoekige driehoek met de stelling van Pythagoras.
Percentage berekenen
Vier modi in één calculator: X% van Y, X is hoeveel % van Y, procentueel verschil en toename/afname.
Breuken berekenen
Reken twee breuken bij elkaar op, trek ze van elkaar af, vermenigvuldig of deel ze — met automatische vereenvoudiging, decimale waarde en gemengd getal.

Laatst bijgewerkt: 11 april 2026